Il paradosso di Achille e la tartaruga

Zenone di Elea

Tutti i lettori avranno certamente sentito parlare del paradosso di “Achille e la tartaruga”, proposto attorno al 500 avanti Cristo dal filosofo greco Zenone di Elea. Il velocissimo Achille ed una tartaruga si sfidano ad una gara di corsa. Per rendere la contesa meno impari, Achille dà dieci metri di vantaggio alla tartaruga. Mentre Achille corre quei dieci metri, la tartaruga percorre un metro; Achille percorre quel metro, la tartaruga percorre un decimetro; Achille percorre quel decimetro, la tartaruga percorre un centimetro; Achille percorre quel centimetro, la tartaruga percorre un millimetro, e così via all’infinito. Zenone (che voleva dimostrare che i sensi sono ingannevoli e che il movimento è impossibile) conclude che Achille non potrà mai raggiungere la tartaruga.

La soluzione classica

La soluzione più comune di questo paradosso analizza la somma degli infiniti intervalli temporali che abbiamo considerato. Immaginiamo che Achille impieghi nove decimi di secondo per percorrere i primi dieci metri. Nel frattempo la tartaruga si sarebbe spostata di un ulteriore metro; per coprire anche questa distanza Achille impiegherebbe nove centesimi di secondo; per il successivo decimetro nove millesimi, e così via. La somma degli intervalli di tempo impiegati (espressa in secondi) sarebbe quindi:

0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ...

Da un punto di vista matematico questa somma di infiniti termini converge (è sempre minore di uno) ed il suo limite è uno. Il tempo però, come sappiamo bene, continua a scorrere. Zenone, quindi, avrebbe dimostrato che Achille non riesce a raggiungere la tartaruga prima che sia trascorso un certo tempo (con le nostre ipotesi, un secondo). Se il tempo continua a scorrere, però, Achille raggiunge e supera la tartaruga.

Questa spiegazione lascia però in qualche modo insoddisfatti. Come è possibile che ci sia un tempo dopo la serie infinita di attimi, in ognuno dei quali Achille raggiunge il punto in cui precedentemente si trovava la tartaruga? Come è possibile che il tempo vada avanti lo stesso, fino al momento in cui la tartaruga viene raggiunta?

Per dare una risposta a questi interrogativi si può riflettere sulla nostra abituale concezione della realtà. Noi tutti normalmente riteniamo che, al di fuori di noi, esistano cose che si comportano secondo leggi ben precise. Oggetti come Achille e la tartaruga hanno ben determinate proprietà, tra cui una traiettoria che in linea di massima possiamo conoscere con precisione illimitata.

La visione della meccanica quantistica

La meccanica quantistica, però, propone una diversa visione del mondo, in particolare se si segue la cosiddetta interpretazione di Copenhagen, formulata nel 1927 dal fisico danese Niels Bohr. In meccanica quantistica non è possibile crearsi una rappresentazione che descriva esattamente ciò che succede nel mondo che ci circonda. Ad esempio, se vogliamo misurare la posizione di una particella elementare, tutto ciò che possiamo sapere è la probabilità dei vari valori che può assumere; da questi dati si possono poi ricavare “valore medio” e “scarto medio". Lo scarto medio di una grandezza è chiamato indeterminazione e non può essere nullo.

Se seguiamo l’interpretazione di Copenhagen, non possiamo crearci un modello del mondo che lo rappresenti esattamente; gli elettroni, ad esempio, sono entità che si comportano in modo del tutto peculiare. La meccanica quantistica non ci dà un modello della realtà esterna, ma ci serve per prevedere il risultato delle misure.

L’indeterminazione

In meccanica quantistica l’indeterminazione indica il livello di imprecisione di una misura e si applica non ad una singola grandezza (come la posizione), ma a coppie di grandezze "complementari". Sono complementari, ad esempio, la posizione e la quantità di moto (che corrisponde alla massa per la velocità). Tanto più precisa è la misura di una grandezza, tanto meno lo sarà la misura della grandezza complementare.

Il "quanto" minimo di indeterminazione (la costante di Planck) è il prodotto della indeterminazione di una grandezza per quella dell'altra grandezza, ed indica il livello minimo di imprecisione di una misura. Il suo valore, espresso in chilogrammi per metri al secondo (l'unità di misura della quantità di moto) per metri (l'unità di misura della posizione), è rappresentato da uno diviso un numero che si può scrivere come “1” seguito da trentaquattro zeri.

Nel caso di un oggetto di un chilo di peso, ad una indeterminazione della posizione di un milionesimo di miliardesimo di millimetro corrisponderebbe una indeterminazione della velocità dell'ordine del milionesimo di miliardesimo di millimetro al secondo. È evidente che una indeterminazione di questo genere non ha alcun interesse pratico se si devono misurare metri, o millimetri, o anche millesimi di millimetro.

Quando Achille sta per raggiungere la tartaruga

Che cosa succede, però, quando Achille sta per raggiungere la tartaruga? La distanza tra i due, inizialmente di dieci metri, diventa rapidamente di un decimo di millimetro, e poi di un miliardesimo di millimetro (bastano altri otto intervalli), e poi di un milionesimo di miliardesimo di millimetro. In breve, dopo poche decine di intervalli ci ritroviamo ad avere a che fare con dimensioni in cui la meccanica quantistica entra decisamente in gioco.

Adottando la concezione della meccanica quantistica, Achille e la tartaruga non sono oggetti che possiamo rappresentarci con esattezza, ma semplicemente delle entità su cui possiamo effettuare delle misurazioni. Ad un certo punto, però, la distanza tra i due diventa così piccola che non ha più senso effettuare una misura: l’indeterminazione sarebbe eccessivamente elevata. La situazione non cambierebbe neppure considerando tutti gli intervalli successivi: ogni intervallo, infatti, è maggiore della somma di tutti quelli che lo seguono.

Il punto fondamentale di questo ragionamento non è l’effettiva fattibilità della misura: la misura non ha senso neppure da un punto di vista teorico. L’indeterminazione è una proprietà intrinseca alla natura di qualsiasi entità che vogliamo misurare.

Se adottiamo la concezione secondo cui una teoria scientifica non deve darci un’immagine del mondo, ma serve soltanto ad incrementare la nostra conoscenza, affermare che una entità, ad esempio un intervallo, non può essere misurata neppure da un punto di vista teorico vuol dire che dobbiamo evitare di comprenderla nella nostra visione del mondo, vuol dire che non esiste.

Dopo breve tempo la distanza tra Achille e la tartaruga non esiste più, nè ha senso considerare l’intervallo temporale che corrisponde a questa distanza: si può affermare che alla fine l’inseguitore ha raggiunto il suo obbiettivo.

Zenone aveva ragione

Anche se Achille raggiunge la tartaruga, questo non smentisce completamente Zenone. Il suo obbiettivo era dimostrare che non esiste il movimento. La meccanica quantistica fa una affermazione molto simile. Ricorriamo alle parole del fisico russo Lev Landau, premio Nobel nel 1962, che nel primo capitolo del volume “Meccanica quantistica” del suo corso di fisica teorica dice testualmente:

“Nella meccanica quantistica il concetto di traiettoria della particella non esiste, ciò che trova sua espressione nel cosiddetto principio di indeterminazione, uno dei principi basilari della meccanica quantistica, scoperto da W. Heisenberg nel 1927”.

L’indeterminazione prevista dalla meccanica quantistica ha rilevanza solamente nel mondo subatomico, a causa del valore molto piccolo del quanto di indeterminazione. La sua validità, però, è del tutto generale, e può portare a ripensare la nostra concezione del mondo. Non è necessario pensare che, là fuori, ci siano delle entità che “esistono” e si comportano in maniera determinata. Non è necessario pensare che “esista” il movimento; l’importante è che possiamo effettuare delle misure e prevederne il risultato. L’esempio di Achille e la tartaruga rappresenta un caso in cui questa concezione ci aiuta ad uscire da un vicolo cieco.