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Didattica: Matematica, realtà, società, cultura

Redazione
L'astrofisico Mario Livio racconta il seguente episodio. Durante una conferenza alla Cornell University, quando comparve sullo schermo la diapositiva con la scritta «Dio è un matematico?», uno degli studenti in prima fila si lasciò sfuggire: «Oh Dio, spero di no!». Questa "implorante" esclamazione esprime efficacemente lo sgomento che molti, giovani e meno giovani, provano nei confronti della matematica. Un significativo contributo per superare tale sconcerto può venire da una sana autocritica da parte di noi docenti, sul modo spesso "afflitivo" con cui presentiamo i vari argomenti, seguendo in maniera pedissequa gli aridi libri di testo. Sarebbe opportuno che ci facessimo guidare da due grandissimi della matematica e della fisica: Archimede ed Einstein.

Il primo, in una lettera inviata a Eratostene, Direttore della Biblioteca di Alessandria, chiarisce che la matematica non è solo astrazione, è prima ancora e soprattutto: intuizione, ricerca di analogie, indagine mediante congetture plausibili, ottenute anche con esperimenti reali o concettuali: di questi ultimi fu l'ideatore che ebbe in Galilei un degno allievo.
Il secondo, considerava la matematica un'espressione della creatività umana, come la musica, la poesia, l'arte visiva, seppure con le sue peculiarità.

In quest'incontro desidero:
  • Smitizzare il luogo comune delle due culture.
  • Evidenziare non tanto l'efficacia della matematica nel descrivere la realtà fenomenica - com'è da sempre - ma il suo significativo contributo allo studio di discipline che sembrano a prima vista "refrattarie" a una trattazione formale.
  • Sottolineare lo stretto legame fra essa e le realtà sociali e culturali delle comunità che la esprimono.
Umanesimo e scienza sono due facce complementari di una stessa medaglia: la Cultura. Da Parmenide, V secolo a.C. fino a Leibniz, prima metà del XVIII secolo, essa è stata, con le sue diverse articolazioni, la più alta espressione della mente umana. Poi, nel Romanticismo una puerile disputa per il predominio dell'uno sull'altra, iniziata dal polemico inglese Blake, cui rispose per le rime Darwin, ha originato l'insensata separazione, che dura in parte tutt'oggi, e che ha relegato la scienza a figlia di un Dio minore.
In relazione all'unitarietà della Cultura, qualche riflessione su:
Parmenide, Leibniz, Lucrezio, Dante, Galilei, Leopardi, Russell, Borges.

Parmenide
Vi è noto come filosofo, ma fu anche poeta e scienziato: scrisse in esametri, alcuni dei quali ispirati, alla maniera di Omero ed Esiodo, intuì per primo le fasi della luna e identificò ???????, la stella del mattino, con ????????, quella della sera (Entrambe sono in effetti il pianeta Venere).

Leibniz
Conoscete anch'egli come filosofo, ma fu giurista, matematico e logico di grande spessore. Si laureò a ventun'anni in giurisprudenza con una tesi sulle antinomie giuridiche. Geniale architetto, assieme a Newton del calcolo infinitesimale e integrale, artefice dell'aritmetica binaria; vagheggiò un calculus ratiocinator, un linguaggio simbolico universale, un'algebra della lingua per le scienze e la metafisica.

Lucrezio: De rerum natura.
Esempio raro di poeta che eleva la divulgazione scientifico-filosofica al rango di capolavoro
Immortale per: la forza della fantasia, la vivezza e chiarezza delle immagini che trasmettono
emozioni capaci di risonanze universali, la coerenza con una visione razionale.

Dante
Nel Convivio descrive la matematica come una maestosa signora vestita di bianco - il colore che le si addice - «in quanto è senza macula d'errore e certissima per sé».
(Paradiso XVII, 13-15)
«(....) non capere in trïangol due ottusi».
Le virtù di beato di Cacciaguida - suo trisavolo - gli consentono di prevedere gli eventi prima che questi si realizzino, con la stessa facilità con cui un uomo comprende che in un triangolo non possono esistere due angoli ottusi. Infatti, che la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a un angolo piatto, è una proprietà equivalente alquinto postulatodegli"Elementi"di Euclide.
Paradiso (XXVIII, 91-93). Dante e l'infinito.
"L'incendio suo seguiva ogni scintilla;
ed eran tante, che 'l numero loro
più che 'l doppiar delli scacchi s'immilla".
Per descrivere la straordinaria visione della quantità infinita di angeli, che attestano la grandezza di Dio, sceglie di non appellarsi al filosofico concetto di infinito che è ostile alla razionale mente umana. Si serve invece della progressione geometrica 2n.
Purgatorio (XV 16-23)
La legge di riflessione della luce espressa in modo rigoroso e poeticamente immaginifico.
Come quando da l'acqua o da lo specchio
salta lo raggio all'opposita parte...
Paradiso XIII, 112-114:
o se del mezzo cerchio far si puote
trïangol sì ch'un retto non avesse".
Re Salomone chiese a Dio la sapienza necessaria per essere un degno regnante, non di comprendere questioni metafisiche che rimangono inaccessibili alla mente umana, come l'impossibilità d'inscrivere in una semicirconferenza un triangolo che non sia rettangolo. Paradiso XXXIII, 133-136
"Qual e' 'l geometra che tutto s'affige
per misurar lo cerchio, e non ritrova,
pensando quel principio ond'elli indige
tal era io a quella vista nova"....
Descrive l'incapacità della mente umana a penetrare il mistero dell'incarnazione, così come lo sforzo del matematico è vano di fronte al mistero della quadratura del cerchio.
"La Divina Commedia" è un perfetto esempio di come filosofia, teologia, arte, matematica e fisica possano armoniosamente interagire, al pari degli strumenti di un'orchestra, sapientemente concertati da un eccezionale direttore.

Galilei
Nel 1588 fu chiamato dall'Accademia Fiorentina a tenere conferenze di argomento letterario, in particolare tenne due lezioni Circa la figura, sito e grandezza dell'inferno di Dante. Celebri sono poi: Considerazioni sul Tasso e Contro il portar la toga.
Tutti i suoi scritti, sono di grande pregio letterario. Di Galileo scrittore hanno detto: «Uno stile tutto cose e tutto pensiero, scevro di ogni pretensione e di ogni maniera, in quella forma diretta e propria in che è l'ultima perfezione della prosa» (Francesco De Santis). Galilei è da considerarsi uno dei maggiori scrittori italiani (Italo Calvino).

Fermat
Magistrato a Tolosa, sua città natale, profondo conoscitore di greco e latino, uomo schivo e mite, diceva di sé di essere un matematico per diletto. Questo "dilettante" della scienza fu, assieme a Cartesio il più eminente matematico della prima metà dei Seicento. Introdusse la geometria analitica otto anni prima del "dubbioso metodico", ideò la teoria dei numeri, enunciò il principio del tempo minimo, iniziò assieme a Pascal la probabilità. Enunciò quello che viene chiamato l'ultimo teorema di Fermat, cioè che l'equazione xn+yn=zn ha soluzioni intere se e solo se n=2: il teorema venne dimostrato da Wiles nel 1996. E dimostrò il cosiddetto Piccolo teorema di Fermat sui numeri primi, usato in crittografia.

Leopardi
L'ermo colle e la siepe aboliscono non solo il paesaggio, ma la vita stessa del paesaggio, e ciò favorisce il pensiero e il senso dell'infinito - nello spazio e nel tempo- di fronte al quale l'essere del poeta, dell'uomo, si spaura. Lo stesso senso di solitudine, di paura ha preso e prende il matematico quando, solo col proprio pensiero, segue le insidiose rotte dell'infinitamente grande o dell'infinitamente piccolo e, addirittura, osa spingere la fantasia a concepire una "gerarchia" tra gli infiniti, che costruisce poi con la ragione.
È capitato ai pitagorici con la scoperta dei numeri irrazionali, nella cui immensità è naufragata la concezione pitagorica del mondo, e il naufragar non fu dolce ma «horror infiniti».

Russell
Tra i più eminenti matematici e logici del secolo scorso, divulgatore della filosofia. A ottantanove anni fu condannato per avere partecipato a un manifestazione pacifista contro la proliferazione nucleare. Nobel per la Letteratura nel 1950.

Borges (De docta ignorantia, I, 13)
«Vi è un concetto che corrompe e altera tutti gli altri. Non parlo del Male, il cui limitato impero è l'etica, parlo dell'infinito. Qualche volta ho desiderato compilare la sua mobile storia. La numerosa Idra conferirebbe adeguato orrore al suo portico; la coronerebbero i sordidi incubi di Kafka e i suoi capitoli centrali non ignorerebbero le congetture di quel remoto cardinale tedesco - Niccolò Krebs, Niccolò Cusano - che nella circonferenza vide un poligono con un numero infinito di angoli (...)». E, con la sua "fantastica" penna, descrive l'infinito nella Biblioteca di Babele, nei cui infiniti corridoi naufraga l'affannosa ricerca di se stessi, della verità.

"Umanità" della Scienza
La scienza sia "umana", cioè legata all'abituale attività dell'uomo. Infatti essa è stata ed è spesso stimolata da problemi pratici, connessi alle diverse attività dell'uomo.
Dai tempi degli Egizi e dei Babilonesi alla rivoluzione industriale ciascuna branca della matematica classica è stata stimolata, soprattutto ai suoi inizi, da problemi pratici, connessi alle diverse attività umane: di conteggio l'aritmetica, di agrimensura la geometria e fisici l'analisi nel seicento. Anche nel XX secolo molti suoi nuovi rami sono fioriti proprio grazie a sollecitazioni legate al mondo reale, con la scoperta di adeguati strumenti matematici con i quali risolvere i recenti problemi; esempi tipici: Economia, Sociologia, Biologia.
Per risolvere i problemi delle prime due sono nate le teorie dei giochi, dell'equilibrio generale e dell'ottimizzazione, il cui scopo è determinare la strategia ottimale in vari ambiti decisionali. Fondamentali furono Teoria dei giochi e comportamento economico (1944) di von Neumann e Morgenstern e L'equilibrio di Nash, proposto da Nash nel 1950 (Il film "A beautiful mind" - vincitore di quattro premi Oscar - descrive la tormentata vita di John Nash, Nobel per l'economia). Una loro applicazione notevole riguarda la «scelta sociale» fra più alternative, a partire dalla conoscenza delle opzioni individuali; esempi: la scelta dei candidati a una elezione politica, la formulazione di un piano economico da parte del consiglio di amministrazione di un'azienda.
Le teorie precedenti sono utilizzate, sistematicamente, dai consiglieri politici e militari delle nazioni sviluppate nelle situazioni di conflitti bellici o economici.
La teoria dell'ottimizzazione si prefigge di determinare la migliore assegnazione e distribuzione di un certo numero di risorse secondo un determinato criterio. In essa, fondamentale è la Ricerca operativa, in particolare la Programmazione lineare, che ha lo scopo di massimizzare o minimizzare una funzione obiettivo le cui variabili sono sottoposte a vincoli lineari.
La programmazione economica è stata sollecitata in particolare dallo sviluppo dei piani quinquennali in Unione Sovietica e dalla gestione delle grandi imprese negli Stati Uniti.
La soluzione ai problemi di Programmazione lineare fu il Metodo del simplesso, sviluppato negli anni '40 da Danzig. Per la sua efficienza pratica, è diventato uno degli algoritmi più usati della matematica applicata.

Una considerazione di carattere didattico:
la programmazione lineare offre la possibilità di proporre semplici ma significativi problemi di economia già nel biennio, mediante le disequazioni algebriche lineari in due incognite, interpretate nel piano cartesiano.

Un problema fondamentale della Biologia è l'autoriproduzione, caratteristica degli esseri viventi. Nel 1951 von Neumann, sviluppando la Teoria degli automi cellulari, ideò una "macchina concettuale" in grado di autoriprodursi, però solo in termini di riproduzione meccanica. Ciononostante Crick e Watson si accorsero che essa forniva un modello molecolare della riproduzione biologica, scoprendo il DNA nel 1953.
Un automa cellulare è un modello matematico dinamico usato per descrivere l'evoluzione di sistemi complessi discreti in matematica, fisica e biologia. Ogni suo elemento è pensato in una griglia spaziale regolare, dettocella, e può essere in uno degli stati finiti che la cella può assumere. Il comportamento di un automa cellulare è fissato da regolelocalieuniformi (il comportamento di una cella è condizionato da quello delle sue vicine) e gli stati di tutte le celle sono aggiornati contemporaneamente in modo sincrono. L'evoluzione globale del sistema emerge da quella di tutte le sue parti elementari.

Le considerazioni precedenti mostrano ampiamente l'importanza della matematica in vari campi dell'attività umana che solitamente non vengono prospettati.
Vediamone altri.
Nel secolo scorso la matematica è straripata e reso fertili nuovi campi, alcuni non ancora dissodati per mancanza di adeguati attrezzi matematici, altri riguardanti addirittura il "mondo umanistico": Antropologia, Archeologia, Linguistica, Musica, Psicologia.
Esaminiamo il legame tra Matematica e Linguistica e tra Matematica e Musica, significativi per i loro risvolti didattici.

Matematica e Linguistica
Uno dei più significativi punti di svolta della linguistica moderna fu il Corso di linguistica generale di Ferdinand de Saussure, tenuto fra il 1906 e il 1911. In esso venne delineato un approccio strutturale alle lingue naturali, contrapposto agli studi storici, filologici e comparati in voga fino ad allora. De Saussure vedeva il linguaggio formato di due parti: da un lato una struttura fissa, sociale e immutabile, di regole per la manipolazione dei suoni o dei segni; dall'altro lato un uso variabile, individuale e creativo, della struttura per l'espressione dei significati. Le sue idee indicarono la possibilità di uno studio matematico della parte strutturale della linguistica, e più in generale delle scienze umane.

Matematica e Musica
La geometria moderna, consente di descrivere e apprezzare le "simmetrie musicali".
Già dal Rinascimento infatti si presentano nella scrittura musicale traslazioni, simmetrie, rotazioni, e in seguito omotetie, che saranno utilizzate nelle grandiose architetture musicali di Monteverdi, Vivaldi, Bach, Mozart, Beethoven, ecc, e più di recente, a esempio, nella musica "leggera" da Battisti e Battiato.
Esempi di simmetrie
A sinistra la simmetria del brano nel suo complesso, a destra per le coppie di righe.
Nell'ultimo brano sono evidenti le simmetrie assiali ad assi perpendicolari e quindi la simmetria centrale rispetto al loro punto comune.

Esempi di traslazioni

Canone in D di Pachelbel, XVII secolo



Gli ultimi due segmenti orientati rossi sono in effetti equipollenti agli altri, ma non lo sembrano perché nelle due battute relative le note sono scritte più distanziate tra loro. Inoltre, è evidente la traslazione determinata dalle due battute del basso continuo, tenendo conto, come prima, del fatto che, nelle ultime due battute, le note sono scritte con maggiore spazio fra loro.
Il Canone, utilizzato da Mozart e Haydn, è presente nelle colonne sonore di molti film, ed è stato oggetto di numerosi rifacimenti e adattamenti in chiavepoperock.

Battisti
(Pensieri e parole)

Sono evidenti la traslazione orizzontale e quella verticale.

La matematica e la nascita del computer.
Nel XIX secolo, a opera soprattutto di Bolzano, Cauchy, Cantor, Dedekind e Weierstrass, venne data una base rigorosa alle straordinarie intuizioni di Leibniz e Newton e al concetto di numero reale che le accompagnava. Ciò spinse Hilbert, nel 1900, a formulare una nuova serie di problemi che la matematica avrebbe dovuto affrontare e risolvere entro il nuovo secolo (non sono ancora stati risolti tutti). Inoltre prospettò di dare corpo al grande sogno razionalista che la matematica potesse dimostrare la sua cioè la propria non contraddittorietà.
Purtroppo per lui, nel 1930, un giovane matematico e logico austriaco, Gödel, prendendo, come disse egli stesso, ispirazione dalla Critica della ragion pura di Kant, provò quelli che sono passati alla storia come "teoremi d'incompletezza", i quali affermano che:
la matematica non può simultaneamente essere coerente e completa.
Ciò significa che se essa è coerente non può essere completa, nel senso che esisteranno proposizioni della matematica che sono vere ma non dimostrabili. Viceversa, se la matematica è completa, non è coerente, ossia contiene contraddizioni.
Fu proprio prendendo le mosse dai teoremi di Gödel che Turing, nel 1936, costruì la cosiddetta "Macchina di Turing", una descrizione teorica delle peculiarità che doveva possedere un dispositivo per essere in grado di acquisire informazioni, elaborarle e dare un risultato: la Macchina di Turing segna la nascita del computer.

Presento ora alcuni esempi significativi di come:
le caratteristiche socio-culturali dei vari popoli ne hanno indirizzato lo sviluppo scientifico.
  • Gli assiro-babilonesi, astronomi, costruttori di grandi canalizzazioni e di fortezze, svilupparono, per le loro attività, un sistema di numerazione sessagesimale efficace nei calcoli e risolsero anche particolari equazioni algebriche di secondo e terzo grado.
  • Nell'antica Grecia, madre della cultura occidentale, la dottrina platonica del mondo delle idee influì fortemente su società e cultura: l'uomo nobile doveva occuparsi di ciò che elèva lo spirito, non della vile attività pratica, mercantesca. Questo quadro socio-culturale ebbe come conseguenza che gli antichi greci raggiunsero in geometria - scienza astratta - vette eccelse con Eudosso, Euclide, Archimede, Apollonio. Lo stesso non si può dire per l'aritmetica a parte Archimede (287 a.C. - 212 a.C.) e per l'algebra escluso Diofanto (III secolo d.C.).
  • Gli Indiani furono grandi mercanti e navigatori e il loro contributo alla matematica presenta, come dirà lo scienziato arabo Al Biruni nel XI secolo, due cristalli preziosi che facilitarono le loro attività. Nel V secolo la trigonometria, che favoriva la navigazione, quindi il commercio e nel VII secolo l'invenzione sistema di numerazione decimale posizionale, comprendente lo zero, che gli arabi diffusero nel loro vasto impero - e che usiamo tutt'oggi - portato in Europa da Fibonacci nel 1200.
  • Della matematica cinese si hanno poche informazioni documentate. Da queste emerge che essa ebbe sempre un indirizzo pratico, con scarso interesse per i concetti astratti e il rigore dimostrativo. Di tutt'altro spessore l'aspetto tecnologico con le Quattro grandi invenzioni: la carta, la stampa, la polvere da sparo e la bussola, che hanno portato cambiamenti profondi, le prime due nella cultura, la terza nella guerra e la quarta nella navigazione.
Un problema filosofico:
L'irragionevole efficacia della matematica nella descrizione dei fenomeni naturali.
Per Galilei, credente convinto, Dio ha strutturato l'universo mediante la matematica.
Per i positivisti, la ragione umana, tramite la matematica, può cogliere l'aspetto più profondo dei fenomeni perché essa fa parte della Ragione Universale.
Einstein riteneva che la matematica fosse una creazione della mente umana come l'arte visiva, la musica, la poesia. Anch'egli si meravigliava della sua "irragionevole efficacia".
Comunque la si pensi, la matematica consente di rappresentare la molteplicità dei fenomeni e di avanzare previsioni.
Essa presenta inoltre due aspetti: uno che chiamo attivo, l'altro passivo. Il primo, come si è detto, già stupefacente.
Il secondo ancora più stupefacente: infatti, concetti e relazioni introdotti per studi che sembravano non avere alcun legame con l'esperienza o connessi a specifici argomenti, si sono rivelati, a distanza addirittura di secoli, utili per la descrizione di situazioni che non hanno attinenza con lo studio iniziale.

Alcuni esempi:
  • Le coniche furono scoperte, verosimilmente, da Menecmo intorno al 350 a.C., mentre cercava di risolvere il problema della duplicazione del cubo. Sono servite nel Seicento a Keplero, Galilei e Boyle. IL primo usò l'ellisse per la descrizione dei moti dei pianeti attorno al Sole, il secondo la parabola per le traiettorie dei proiettili, il terzo l'iperbole per la legge delle isoterme.
  • La Teoria dei gruppi, ideata da Galois nel 1832 a ventuno anni, gli permise di provare l'impossibilità di risolvere per radicali le equazioni algebriche in un'incognita di grado superiore al quarto. Ha trovato applicazioni in campi disparati, a esempio: Cristallografia, codici per le trasmissioni e linguaggi, usati anche nei computer. È divenuta, dopo il suo ampliamento con Gruppi continui di Lie (1874) strumento essenziale per lo studio delle particelle elementari: quark e.... mini compagni.
  • La probabilità, iniziata con Pascal e Fermat nella prima metà del Seicento, raggiunse poi, con Jakob Bernoulli (1654-1705) e Laplace (1749-1827), basi matematicamente solide. Ha trovato, inaspettatamente, applicazione a esempio nel Moto browniano da parte di Einstein (1905) e nella Meccanica quantistica di Schrödinger (1926).
Le considerazioni esposte forniscono lo spunto per diverse attività multidisciplinari - tanto sbandierate quanto, in genere, trascurate - che possono coinvolgere gli studenti.

Larga parte delle considerazioni esposta è stata presentata al GiMat di Palermo del 2017.

Spero, con quanto esposto, di avere chiarito che la matematica è cultura, senza appellativi, e si può applicare ai campi diversi e lontani delle molteplici attività umane.

Alfio Grasso
grassoalfino@yahoo.it








Postato il Mercoledì, 11 aprile 2018 ore 09:00:00 CEST di Michelangelo Nicotra
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