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MATEMATICA IN GIOCO
Qualche gioco di magia matematica
Ennio Peres*
Il magico '9'
Modalità di esecuzione
1. Scrivete il numero 9 su un foglio, senza mostrarlo al pubblico; ripiegatelo e inseritelo in una busta.
2. Fornite ai vostri spettatori le seguenti istruzioni collettive (specificando che ognuno di loro dovrà eseguirle in maniera indipendente, senza consultarsi con gli altri):
a) pensate a un numero intero composto da due sole cifre (per esempio: 85);
b) eseguite la somma di queste due cifre (85 ‡ 8+5 = 13);
c) sottraete il risultato così ottenuto dal numero scelto prima (85-13 = 72);
d) se come risultato vi è venuto un numero composto da una sola cifra fermatevi qui; altrimenti, eseguite la somma delle sue cifre (72 ‡ 7+2 =9).
3. A questo punto, chiedete che, al vostro via, ogni spettatore dichiari ad alta voce, insieme agli altri, il risultato che ha ottenuto.
4. Date il via e, con un certo stupore, tutti gli spettatori diranno in coro: '9'!
5. Aprite la busta contenente la vostra previsione e mettete in evidenza che avevate previsto esattamente il risultato che sarebbe stato ottenuto, nonostante aveste lasciato libero ogni spettatore di scegliere il numero che preferiva.
Spiegazione del trucco
Un qualsiasi numero N di due cifre, composto da X decine e Y unità, può essere scritto come: N = 10X+Y.
Eseguendo le due operazioni richieste, si ottiene, quindi:
N-(X+Y) = 10X+Y-X-Y = 9X.
Il risultato è, di conseguenza, sempre un multiplo di 9, indipendentemente dal valore del numero di partenza. Per un noto criterio di divisibilità, inoltre, la somma delle cifre di un multiplo di 9 è sempre uguale a 9...
Un calcolo con i piedi
Modalità di esecuzione
1. Impartite ai vostri spettatori le seguenti istruzioni collettive (specificando che ognuno di loro dovrà eseguirle in maniera indipendente, senza consultarsi con gli altri):
a) scrivete il vostro numero di scarpe, senza prendere in considerazione eventuali mezze misure (per esempio: 39);
b) moltiplicate per 100 questo numero (39¥100 = 3900);
c) sottraete dal numero così ottenuto il vostro anno di nascita (per esempio: 1975 e, quindi: 3900-1975 = 1925);
2. A questo punto chiedete a uno spettatore di comunicarvi il risultato che ha ottenuto e, dopo pochi secondi, indovinate il numero di scarpe che porta e l'età che ha compiuto (o che compirà nell'anno in corso).
3. Potete replicare questa stessa performance, con altri spettatori, una quantità di volte a vostro piacere...
Accorgimenti da seguire
Per riuscire in tale impresa, dovete sommare mentalmente il valore dell'anno in corso al numero che vi viene, di volta in volta, comunicato. Se tutti i calcoli sono stati eseguiti correttamente, ogni risultato sarà costituito da quattro cifre: le prime due indicheranno il numero di scarpe, mentre le altre due indicheranno l'età.
Nell'esempio precedente, supponendo che l'anno in corso sia il 2006, si ottiene:
1925+2006 = 3931 ‡ 39 | 31 (scarpe = 39, età = 31).
Spiegazione del trucco
Se chiamiamo S il numero di scarpe dello spettatore, A il suo anno di nascita e N il risultato che ci viene comunicato, dalla sequenza di istruzioni fornita, possiamo impostare la seguente relazione:
N = S¥100-A.
Se, inoltre, chiamiamo C l'anno in corso e aggiungiamo questo valore a quello di N, otteniamo: R = N+C = S¥100-A+C; o anche:
R = S¥100+(C-A).
Considerando che l'età E di una persona è uguale alla differenza tra l'anno in corso e quello di nascita, possiamo porre E = C-A e, quindi, l'equazione precedente diventa: R = S¥100+E.
Siccome sia S che E possono essere composti al massimo da due cifre (se evitiamo di proporre il gioco a un centenario...), possiamo porre S = 'ab' ed E = 'cd'. Di conseguenza, impostando l'addizione in colonna, ricaviamo il valore R della somma indicata nella relazione precedente, nel seguente modo:
ab00 +
cd =
abcd
Come appare evidente:
· il numero composto dalle prime due cifre di questo risultato ('ab') coincide con S (numero di scarpe dello spettatore);
· il numero composto dalle ultime due cifre di questo risultato ('cd') coincide con E (età dello spettatore).
La carta mancante
Modalità di esecuzione
1. Porgete un mazzo di 40 carte a uno spettatore e chiedetegli di toglierne una a sua scelta, senza farvela vedere.
2. Fatevi riconsegnare il mazzo e analizzatene velocemente il contenuto, un paio di volte al massimo.
3. Al termine di questa operazione, comunicate con sicurezza quale carta era stata tolta dal mazzo.
Accorgimenti da seguire
Dovete attribuire a ciascuna carta il valore di presa che tradizionalmente essa ha in giochi come la Scopa (asso =1, due = 2, ... fante = 8, cavallo = 9) con eccezione del re, al quale dovete assegnare il valore 0.
Mentre sfogliate per la prima volta il mazzo, dovete effettuare mentalmente la somma progressiva dei valori delle carte che, di volta in volta, vi capitano sotto gli occhi, usando l'accortezza di memorizzare solo la cifra delle unità di ogni risultato parziale ottenuto. Per esempio, eseguendo: 7+8 = 15, dovete tenere a mente solo: 5.
Al termine, otterrete un risultato compreso tra 0 e 9. Sottraendo questo numero da 10, ricaverete il valore della carta che è stata messa da parte (in questo caso, un eventuale risultato uguale a 10 deve corrispondere al re).
Quando sfogliate di nuovo il mazzo, dovete osservare quali sono i semi con i quali il valore individuato è presente nel mazzo e, per esclusione, ricavare quello della carta mancante.
Nota - L'esecuzione di questo gioco risulta tanto più sorprendente, quanto più rapidamente riuscite a effettuare le somme a mente. D'altra parte, quanto più vi eserciterete con questo gioco, tanto più rapidamente sarete in grado di effettuare le somme a mente...
Spiegazione del trucco
La somma di tutti i valori attribuibili alle 40 carte di un mazzo completo, in base alla convenzione adottata, è uguale a 180. Infatti: 4¥(1+2+3+4+5+6+7+8+9) = 4¥45 = 180. Di conseguenza, se non venisse tolta alcuna carta, l'operazione descritta in precedenza darebbe come risultato 0 (scartando, una alla volta, tutte le decine che compongono il numero 180). Per questo motivo, il valore della carta mancante coincide con quello che bisogna aggiungere al risultato ottenuto, per ottenere 10 (ovvero: 0, scartando la decina).
*Giocologo
Qualche gioco di magia matematica
Ennio Peres*
Il magico '9'
Modalità di esecuzione
1. Scrivete il numero 9 su un foglio, senza mostrarlo al pubblico; ripiegatelo e inseritelo in una busta.
2. Fornite ai vostri spettatori le seguenti istruzioni collettive (specificando che ognuno di loro dovrà eseguirle in maniera indipendente, senza consultarsi con gli altri):
a) pensate a un numero intero composto da due sole cifre (per esempio: 85);
b) eseguite la somma di queste due cifre (85 ‡ 8+5 = 13);
c) sottraete il risultato così ottenuto dal numero scelto prima (85-13 = 72);
d) se come risultato vi è venuto un numero composto da una sola cifra fermatevi qui; altrimenti, eseguite la somma delle sue cifre (72 ‡ 7+2 =9).
3. A questo punto, chiedete che, al vostro via, ogni spettatore dichiari ad alta voce, insieme agli altri, il risultato che ha ottenuto.
4. Date il via e, con un certo stupore, tutti gli spettatori diranno in coro: '9'!
5. Aprite la busta contenente la vostra previsione e mettete in evidenza che avevate previsto esattamente il risultato che sarebbe stato ottenuto, nonostante aveste lasciato libero ogni spettatore di scegliere il numero che preferiva.
Spiegazione del trucco
Un qualsiasi numero N di due cifre, composto da X decine e Y unità, può essere scritto come: N = 10X+Y.
Eseguendo le due operazioni richieste, si ottiene, quindi:
N-(X+Y) = 10X+Y-X-Y = 9X.
Il risultato è, di conseguenza, sempre un multiplo di 9, indipendentemente dal valore del numero di partenza. Per un noto criterio di divisibilità, inoltre, la somma delle cifre di un multiplo di 9 è sempre uguale a 9...
Un calcolo con i piedi
Modalità di esecuzione
1. Impartite ai vostri spettatori le seguenti istruzioni collettive (specificando che ognuno di loro dovrà eseguirle in maniera indipendente, senza consultarsi con gli altri):
a) scrivete il vostro numero di scarpe, senza prendere in considerazione eventuali mezze misure (per esempio: 39);
b) moltiplicate per 100 questo numero (39¥100 = 3900);
c) sottraete dal numero così ottenuto il vostro anno di nascita (per esempio: 1975 e, quindi: 3900-1975 = 1925);
2. A questo punto chiedete a uno spettatore di comunicarvi il risultato che ha ottenuto e, dopo pochi secondi, indovinate il numero di scarpe che porta e l'età che ha compiuto (o che compirà nell'anno in corso).
3. Potete replicare questa stessa performance, con altri spettatori, una quantità di volte a vostro piacere...
Accorgimenti da seguire
Per riuscire in tale impresa, dovete sommare mentalmente il valore dell'anno in corso al numero che vi viene, di volta in volta, comunicato. Se tutti i calcoli sono stati eseguiti correttamente, ogni risultato sarà costituito da quattro cifre: le prime due indicheranno il numero di scarpe, mentre le altre due indicheranno l'età.
Nell'esempio precedente, supponendo che l'anno in corso sia il 2006, si ottiene:
1925+2006 = 3931 ‡ 39 | 31 (scarpe = 39, età = 31).
Spiegazione del trucco
Se chiamiamo S il numero di scarpe dello spettatore, A il suo anno di nascita e N il risultato che ci viene comunicato, dalla sequenza di istruzioni fornita, possiamo impostare la seguente relazione:
N = S¥100-A.
Se, inoltre, chiamiamo C l'anno in corso e aggiungiamo questo valore a quello di N, otteniamo: R = N+C = S¥100-A+C; o anche:
R = S¥100+(C-A).
Considerando che l'età E di una persona è uguale alla differenza tra l'anno in corso e quello di nascita, possiamo porre E = C-A e, quindi, l'equazione precedente diventa: R = S¥100+E.
Siccome sia S che E possono essere composti al massimo da due cifre (se evitiamo di proporre il gioco a un centenario...), possiamo porre S = 'ab' ed E = 'cd'. Di conseguenza, impostando l'addizione in colonna, ricaviamo il valore R della somma indicata nella relazione precedente, nel seguente modo:
ab00 +
cd =
abcd
Come appare evidente:
· il numero composto dalle prime due cifre di questo risultato ('ab') coincide con S (numero di scarpe dello spettatore);
· il numero composto dalle ultime due cifre di questo risultato ('cd') coincide con E (età dello spettatore).
La carta mancante
Modalità di esecuzione
1. Porgete un mazzo di 40 carte a uno spettatore e chiedetegli di toglierne una a sua scelta, senza farvela vedere.
2. Fatevi riconsegnare il mazzo e analizzatene velocemente il contenuto, un paio di volte al massimo.
3. Al termine di questa operazione, comunicate con sicurezza quale carta era stata tolta dal mazzo.
Accorgimenti da seguire
Dovete attribuire a ciascuna carta il valore di presa che tradizionalmente essa ha in giochi come la Scopa (asso =1, due = 2, ... fante = 8, cavallo = 9) con eccezione del re, al quale dovete assegnare il valore 0.
Mentre sfogliate per la prima volta il mazzo, dovete effettuare mentalmente la somma progressiva dei valori delle carte che, di volta in volta, vi capitano sotto gli occhi, usando l'accortezza di memorizzare solo la cifra delle unità di ogni risultato parziale ottenuto. Per esempio, eseguendo: 7+8 = 15, dovete tenere a mente solo: 5.
Al termine, otterrete un risultato compreso tra 0 e 9. Sottraendo questo numero da 10, ricaverete il valore della carta che è stata messa da parte (in questo caso, un eventuale risultato uguale a 10 deve corrispondere al re).
Quando sfogliate di nuovo il mazzo, dovete osservare quali sono i semi con i quali il valore individuato è presente nel mazzo e, per esclusione, ricavare quello della carta mancante.
Nota - L'esecuzione di questo gioco risulta tanto più sorprendente, quanto più rapidamente riuscite a effettuare le somme a mente. D'altra parte, quanto più vi eserciterete con questo gioco, tanto più rapidamente sarete in grado di effettuare le somme a mente...
Spiegazione del trucco
La somma di tutti i valori attribuibili alle 40 carte di un mazzo completo, in base alla convenzione adottata, è uguale a 180. Infatti: 4¥(1+2+3+4+5+6+7+8+9) = 4¥45 = 180. Di conseguenza, se non venisse tolta alcuna carta, l'operazione descritta in precedenza darebbe come risultato 0 (scartando, una alla volta, tutte le decine che compongono il numero 180). Per questo motivo, il valore della carta mancante coincide con quello che bisogna aggiungere al risultato ottenuto, per ottenere 10 (ovvero: 0, scartando la decina).
*Giocologo
