Siamo in presenza di due parole che differiscono per etimologia, non per funzione e significato. Per funzione e significato, sono sovrapponibili. Come avverbio: andremo in vacanza insieme (o assieme); come preposizione impropria: venite insieme (o assieme) con (o a) noi; come sostantivo, limitatamente all’accezione di ‘gruppo di cose o persone in cui vi sia coesione o accordo’: formare un insieme (o un assieme) affiatato.

L’etimologia ci dice, invece, che insieme è attestato prima di assieme nell’italiano scritto. Insieme è documentato dal XIII secolo, assieme dalla metà del Cinquecento. Insieme viene dal latino: in particolare, v’è da presupporre una forma del latino parlato (non attestata nello scritto) *INSĔMUL, variante del latino classico INSĬMUL, a sua volta forma rafforzata di SĬMUL ‘insieme’, con influsso di SĔMEL ‘una volta’. Assieme è, per dir così, figlio di insieme: ne deriva per scambio di prefisso (ad-, con assimilazione della dentale).