Trasformazioni del piano e coniche: una proposta didattica
Data: Domenica, 01 novembre 2020 ore 09:00:00 CET
Argomento: Redazione
 In un mio
precedente intervento, già pubblicato sul sito, mi sono occupato diffusamente
della parabola, che dovrebbe essere trattata per prima per i suoi
legami con equazioni e disequazioni di secondo grado.
Presento ora le altre coniche, mettendo in rilievo che l’intento di
questo lavoro non è svolgere una trattazione completa delle stesse,
quanto presentarne un’esposizione che si basa sulle trasformazioni del
piano, mettendone così in rilievo l’importanza (Nei libri di testo esse
sono svolte, en passant, dopo la geometria tradizionale e diventano
così un inutile orpello. Mentre la trattazione della geometria mediante
le trasformazioni, suggerita dal Programma di Erlangen di Klein del
1872, è presente già dal 1977 negli interessanti testi Il metodo
matematico di Lombardo Radice e Mancini Proia, e Matematica come
scoperta di Prodi.
L’uso delle trasformazioni, delle quali quella chiave è la simmetria
bilaterale, è suggerita dalla natura, che, circa seicento milioni di
anni fa, “scoprì” che essa era la più adatta nella costruzione degli
esseri viventi, ed era economica: “due al prezzo di uno”. E l’arte di
tutti i popoli in ogni luogo testimonia come l’uomo ne sia stato
influenzato.
Nel campo specifico della geometria, l’utilizzo delle trasformazioni
consente:
• un costante uso dell’intuizione, prima fonte della
conoscenza;
• di avere una guida che conduce alle dimostrazioni,
verificando le proprie congetture;
• dimostrazioni semplici ed efficaci, che spesso i
giovani possono intuire;
• l’introduzione della geometria analitica
dall’inizio, e ciò, oltre a essere più stimolante per i giovani,
risulta utile nello studio della fisica già dal primo anno;
• l’approfondimento del fondamentale concetto di
gruppo, con la presentazione di gruppi anche in geometria, fornendo
così un esempio di unitarietà di rami diversi della matematica.
Mediante le trasformazioni del piano:
• Le equazioni dell’ellisse e dell’iperbole
canoniche si ottengono in modo meno complesso e più immediato,
fornendone una semplice ma efficace costruzione.
• Le equazioni delle tangenti, ottenute con le
trasformazioni, hanno tutte una stessa struttura e sono facilmente
memorizzabili. Esse si conseguono in maniera semplice, con un unico
procedimento che dà al tempo stesso le equazioni delle tangenti e le
coordinate dei punti di contatto.
§ 1
Circonferenza
La Geometria analitica si può considerare un dizionario bilingue che
consente di “tradurre” le proprietà delle figure in equazioni e
disequazioni e viceversa.
In particolare, sappiamo che esiste una biiezione tra l’insieme delle
rette del piano e le equazioni lineari in x e y, nel senso che:
• Assegnata una qualunque retta del piano, a essa si
può associare una e una sola equazione di primo grado del tipo
ax+by+c=0, con a e b non simultaneamente nulli, la quale è soddisfatta
da tutte e sole le coordinate dei suoi punti.
• Viceversa, fissata una qualsiasi equazione lineare
in x e y, tutte e sole le coppie ordinate di numeri reali che la
verificano sono coordinate di punti che appartengono a un’unica retta r
che è l’immagine dell’equazione.
Esaminiamo ora la circonferenza, l’altra figura che, assieme alla
retta, è “perfetta” perché presenta infinite simmetrie (quali quelle
dell’una e dell’altra?).
Sapete che ...
Alfio Grasso
grassoalfino@yahoo.it
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