PISA 2003, matematica: quali gli errori degli studenti italiani
Stefania Pozio*



Tutti ormai sanno che gli studenti italiani hanno riportato risultati molto deludenti alle prove di matematica dell'indagine internazionale PISA 2003. Per analizzare le difficoltà che hanno incontrato nella risoluzione di questi quesiti sono stati presi in considerazione circa 1000 fascicoli (degli 11.000 compilati) contenenti le prove di matematica rese pubbliche dal Consorzio Internazionale ed è stato creato un database di tutti gli errori trovati, errori che sono stati poi successivamente suddivisi per tipologie.

Le domande a risposta aperta
Un dato interessante, di cui bisogna tener conto prima di vedere quali tipi di errori commettono i nostri studenti, è dato dal fatto che questi risultati negativi sono in parte dovuti anche all'elevatissima percentuale di risposte omesse che vengono a tutti gli effetti considerate errate, anche se in realtà sono semplicemente non risposte. Su 85 quesiti di matematica che sono stati somministrati agli studenti nella rilevazione di PISA 2003, in ben 41 di essi, cioè quasi nella metà, l'Italia è risultata al primo, o al secondo o, al massimo, al terzo posto come percentuale più alta di omissioni. La percentuale più alta di omissioni - pari a quasi il 40%, con punte addirittura del 70% - riguarda le domande che prevedono risposte aperte articolate: quelle, cioè, in cui si richiede di scrivere il proprio ragionamento, ovvero di motivare la risposta o di mostrare i passaggi effettuati per giungere a quel determinato risultato. Questo potrebbe essere un segnale del fatto che a scuola i nostri studenti non sono abituati a esplicitare il proprio ragionamento quando risolvono problemi di matematica e quindi, di fronte a una tale richiesta, preferiscono non rispondere piuttosto che tentare di dare una risposta non corretta.

La mancanza di riflessione sui risultati
 Oltre al problema delle omissioni, i nostri studenti compiono, comunque, errori di vario tipo che derivano dal modo in cui essi sono abituati a scuola a risolvere problemi di matematica. Secondo D'Amore (1997), per gli studenti, "risolvere un problema coincide con il trovare le operazioni più adatte; si tratta cioè di interpretare aritmeticamente il testo, passando dalla sua formulazione in lingua naturale all'espressione aritmetica che porta dai dati al risultato. Una volta seguito questo passaggio, il testo non serve più e l'attenzione del risolutore si concentra sulla esecuzione dell'operazione che porta a un risultato che è automaticamente interpretato come la risposta al problema". Da ciò consegue che se i nostri studenti fossero, invece, abituati a riflettere sull'ordine di grandezza di un risultato, probabilmente alcuni errori potrebbero essere evitati. Infatti, di fronte a un risultato che non è compatibile con ciò che la domanda richiede, uno studente dovrebbe essere portato a ritornare sui calcoli effettuati, ma ciò accade assai di rado. Questo aspetto è molto presente quando si considerano gli errori effettuati dai nostri studenti in alcune prove di matematica del PISA 2003. Analizziamo, per esempio, gli errori più frequenti nella prova "Andatura". Il quesito richiedeva di calcolare la lunghezza del passo di un uomo che cammina facendo 70 passi al minuto, sapendo che esiste una relazione tra il numero di passi al minuto (n) e la lunghezza del passo in metri (P) che è data dalla seguente formula: n/P = 140. L'errore più diffuso, ritrovato nel 40% circa dei fascicoli analizzati, consiste in una errata applicazione della formula. Alcuni studenti, invece di dividere 70 per 140, fanno l'operazione inversa e ottengono come risultato 2 metri. È possibile supporre che questo errore derivi da ciò che D'Amore (1997) definisce "modello intuitivo delle operazioni": in questo caso specifico della divisione, uno studente è portato più a scrivere 140:70 piuttosto che 70:140 in quanto quest'ultima operazione è contraria al modello intuitivo della divisione. Comunque, se gli studenti fossero abituati a riflettere sul risultato, sull'ordine di grandezza in relazione a ciò che la domanda richiede, si accorgerebbero immediatamente che non è possibile che un uomo abbia un passo lungo 2 metri e, di conseguenza, capirebbero di aver sbagliato e probabilmente proverebbero a fare altri calcoli.
 Un altro errore derivante sempre da una errata applicazione della formula è quello secondo il quale gli studenti moltiplicano 70 per 140 ottenendo 9800 m (ma non tutti riportano l'unità di misura), risultato, anch'esso, del tutto inammissibile.
 Tra tutte le risposte errate trovate nel campione di fascicoli di prove cognitive selezionati per questo studio, ce ne è una interessante secondo la quale gli studenti non prendono proprio in considerazione la formula, ma calcolano la lunghezza del passo dividendo 70 per 60, in quanto nella domanda si parla di "numero di passi al minuto". Una delle risposte errate più singolari trovata in un fascicolo è stata la seguente: "140:70=2. Due centimetri sono una distanza troppo piccola quindi la lunghezza sarà di 20 cm". Questo studente si è reso conto che l'ordine di grandezza del risultato non era compatibile con la richiesta della domanda, avendo peraltro sbagliato l'unità di misura, ma invece di provare a effettuare un'altra operazione, ha deciso autonomamente un risultato compatibile con la richiesta.

Anche nella prova "Verifica di scienze" troviamo vari errori che forse gli studenti avrebbero potuto evitare se solo avessero riflettuto sulla compatibilità del risultato con la richiesta della domanda che è la seguente:
 "Nella scuola di Martina, l'insegnante di scienze fa delle verifiche nelle quali il punteggio massimo è 100. Martina ha un punteggio medio di 60 nelle sue prime quattro verifiche di scienze. Alla quinta verifica, prende 80. Qual è la media dei punteggi in scienze di Martina dopo tutte e cinque le verifiche?"
 Alcuni studenti hanno risposto che la media era 28 che deriva dal seguente calcolo (60+80):5, secondo il quale non hanno preso in considerazione il fatto che le verifiche in cui Martina ha preso 60 erano 4 e non una sola. Ora, come può la media essere 28 se i punteggi delle verifiche sono entrambi superiori? Altre risposte errate sono le seguenti:
 a) 100: lo studente fornisce come media il punteggio massimo possibile;
 b) 140: lo studente non calcola nessuna media, fa semplicemente la somma tra 60 e 80;
 c) 320: lo studente imposta bene il calcolo, ma non divide per 5:
 d) 960: lo studente calcola (60x80):5.
 Tutti questi errori denotano una totale mancanza di riflessione sulla correttezza del risultato rispetto ai dati di partenza, nonché una totale ignoranza del calcolo della media.

 *Insegnante di Scienze nella scuola media, lavora presso Scienze dell'educazione e della formazione dell'Università La Sapienza e collabora al gruppo di lavoro PISA 2006 presso l'Invalsi