AetnaNet - I ponti di Königsberg e la nascita della teoria dei grafi. L’apprendimento della matematica

Lo stato di degrado in cui versa l’apprendimento della matematica è sotto gli occhi di tutti, è quindi essenziale riesaminare le tematiche proposte ai nostri ragazzi, anche recuperando alcuni argomenti di un tempo, troppo precipitosamente cancellati dall’insegnamento.
(di Domenico Lenzi in Educationduepuntozero)
http://www.educationduepuntozero.it/Temi/Didattica_e_apprendimento/didattica/2010/04/16/lenzi.shtml

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Negli anni ‘70 una ventata di rinnovamento investì l’insegnamento della matematica. Molti ricorderanno gli entusiasmi che la teoria degli insiemi, la cosiddetta insiemistica, riuscì ad accendere allora. Purtroppo, un suo uso improvvido in chiave didattica fece sì che tutto finisse in una bolla di sapone. E questa importante disciplina fu di fatto bandita dall’insegnamento. Però lo stato di degrado in cui ora versa l’apprendimento della matematica è sotto gli occhi di tutti. È quindi essenziale riesaminare le tematiche proposte ai nostri ragazzi, anche recuperando alcuni argomenti di un tempo, troppo precipitosamente cancellati dall’insegnamento; avendo come primario obiettivo quello di educare alla razionalità. Altrimenti, come Umberto Eco ebbe a scrivere alcuni anni fa sul Corriere della Sera, il prossimo stadio verso cui l’umanità si evolverà sarà quello dell’ “Homo stupidus stupidus”.

Tra i temi da presentare agli studenti, quello della teoria dei grafi ha una notevole importanza, sia da un punto di vista applicativo, sia dal punto di vista dell’avvio al ragionamento matematico. Qui di seguito illustreremo quelli che furono i primi passi nell’ambito di questa disciplina, nonché una proposta di semplificazione – in cui si fa uso del gioco del domino – per la discussione del classico problema sulla percorribilità dei ponti di Königsberg, che Eulero dimostrò essere irrisolubile.

Però la facile dimostrazione di Eulero ha per un non matematico il “difetto” di essere condotta in termini non sufficientemente concreti. Ed è per questo che a Königsberg pare che ci siano ancora delle persone che, non del tutto convinte del risultato di Eulero, cercano di fare quel percorso impossibile. Il che è un indice preoccupante del fatto che anche gli aspetti più elementari della matematica spesso hanno difficoltà a diventare patrimonio comune, non solo in Italia.

Agli inizi del 18° secolo gli abitanti di Königsberg (l’odierna Kaliningrad, situata nella Prussia del nord, presso il mar Baltico) avevano un problema semplice da enunciare, che però non riuscivano a risolvere. La citta è attraversata dal fiume Pregel e sorge in parte su due isole, oltre le quali il fiume si getta in mare. A quei tempi le due isole e le altre sponde del fiume erano collegate con sette ponti, come si può rilevare dallo schizzo di Fig. 1 (è lo stesso che Eulero presentò nell’articolo da lui dedicato al problema). Ebbene, gli abitanti di Königsberg si domandavano se fosse possibile compiere un cammino (cioè, una passeggiata) lungo quei ponti in modo tale da percorrerli una volta soltanto (cammino semplice) senza tralasciarne alcuno. Eulero, introducendo la teoria dei grafi, provò che il quesito aveva risposta negativa, dando una condizione necessaria di risolubilità per problemi di quel tipo, che nel caso di Königsberg non è soddisfatta.
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