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I MODELLI NELLE SCIENZE SPERIMENTALI
I modelli in fisica
Carlo Bernardini
Il problema della ridondanza
La realtà, nel suo insieme, appare troppo complicata per una rappresentazione che tenga conto di ogni minimo particolare: è il problema che possiamo chiamare della ridondanza; esso consiste nella capacità di distinguere ciò che ha importanza da ciò che non la ha, ai fini del particolare tipo di analisi interpretativa che si sta effettuando. Per esempio, per un pittore saranno importanti forma e colori degli oggetti, per un archeologo tipo ed età dei manufatti, per un biologo il carattere di animato o inanimato; per un fisico, la maggior parte di questi caratteri sono invece ridondanti.
La costruzione dei modelli fisici
L'eliminazione della ridondanza porta alla costruzione di un simulacro che consente una rappresentazione del fenomeno ridotta agli elementi essenziali: questo simulacro è il modello di quel fenomeno particolare ma identifica anche gli elementi caratterizzanti di tutti i modelli di quella classe di fenomeni. Per esempio, nell'analisi delle caratteristiche orbitali degli oggetti che costituiscono il sistema solare, pianeti, satelliti e lo stesso Sole sono rappresentati da punti materiali, la temperatura a cui si trovano è irrilevante, la presenza o meno di atmosfera non conta nulla. La somiglianza tra modelli, poi, è molto più generale di quella tra elementi reali della realtà: per fare un esempio ben noto, il modello planetario della struttura atomica non avrebbe senso se si mettesse in conto la ridondanza.
Dunque, possiamo dire che la costruzione di modelli dei fenomeni e delle strutture della realtà è la matrice di ogni teoria: un modello consente di utilizzare, impiegando un ragionevole numero di variabili e di costanti fisiche caratterizzanti, una teoria per prevedere i comportamenti dei sistemi reali che quel modello mima. Spesso, i modelli più fortunati riescono a rappresentare una vastissima classe di comportamenti di sistemi reali.
I modelli lineari
Per esempio, i modelli detti lineari, di cui si può formulare una teoria completa estremamente generale, nella quale la proprietà centrale è addirittura indicata con il nome di principio di sovrapposizione: un sistema lineare è tale se, sollecitato in ingresso (input) da due impulsi diversi ma sovrapposti, risponde in uscita (output) con la somma delle risposte con cui risponderebbe ai due input separati. Generalmente, la fisica di questi sistemi è caratterizzata da funzionali lineari generati da una funzione di risposta ritardata che dà tutte le informazioni di rilevanza fisica sul sistema: in particolare, lo spettro delle frequenze caratteristiche e i tempi di rilassamento caratteristici dei processi dissipativi con cui il sistema perde energia (la dissipazione e gli effetti ritardati sono due aspetti della stessa dinamica interna dei sistemi).
L'oscillatore armonico
Un altro modello molto generale è quello che va sotto il nome di oscillatore armonico (anche, di rete di oscillatori). È una sottoclasse dei sistemi lineari che deve la sua importanza al fatto che, essendo la fisica nata sulla Terra, cioè su un oggetto solido di temperatura molto vicina allo zero assoluto (appena 300 °K, niente in confronto alla temperatura delle stelle), essa descrive spesso i sistemi più comuni, che sono sempre vicinissimi a condizioni di equilibrio e quindi, per piccoli apporti di energia, si mettono a oscillare intorno alle posizioni di equilibrio (molle, cristalli, circuiti elettrici, risuonatori ecc.).
Il principio di sovrapposizione e le teorie fisiche
Peraltro le più importanti teorie generali dei sistemi fisici sono governate da equazioni che rispettano per loro stessa natura il principio di sovrapposizione: così è per le equazioni di Maxwell dell'elettromagnetismo e per l'equazione di Schrödinger della meccanica ondulatoria. Non così per la meccanica di Newton, per l'idrodinamica e per la relatività generale: l'impossibilità di modelli lineari generali per queste teorie complica notevolmente le rappresentazioni mentali operative, cioè, la ricerca di soluzioni.
Fenomenologia e modellizzazione
Una parola di uso comune, strettamente legata alla costruzione di modelli, è: fenomenologia. La fenomenologia è una analisi dei fenomeni nella quale si identificano gli andamenti peculiari osservati in certi risultati sperimentali. Per esempio, la fenomenologia dei calori specifici dei solidi a bassa temperatura mostra una dipendenza dalla temperatura assoluta T che segue una legge di potenza (~ T3) che è tipico del modello detto di Debye (oscillatori accoppiati tra loro) e lo distingue da quello di Einstein (oscillatori indipendenti). La fenomenologia dello spettro del corpo nero prelude all'avvento della quantizzazione di Planck e al modello a fotoni del campo di radiazione. La fenomenologia delle particelle elementari apre la strada al modello a quark; la fenomenologia dei sistemi preda-predatore apre la strada ai modelli biometrici e questi portano a loro volta al cosiddetto caos deterministico. E così via.
Galilei, la caduta dei gravi e il principio di equivalenza
Possiamo affermare che senza la fenomenologia e i modelli che essa consente di immaginare non vi sarebbe la fisica come oggi la intendiamo. L'eliminazione della ridondanza è un'arte raffinata che richiede doti di intuizione veramente eccezionali: quando Galilei immagina la caduta dei gravi nel vuoto e ne ricava l'accelerazione di gravità e la sua indipendenza dalla massa del corpo che cade, non vuol dire che abbia incluso la resistenza dell'aria tra le ridondanze, ma solo che nella sua analisi della caduta dei gravi si è accorto che all'aumentare del loro peso l'aria esercitava sempre meno il suo potere frenante, sicché il limite era come la caduta nel vuoto. Il risultato è quello che oggi si chiama principio di equivalenza, su cui si fonda la relatività generale di Einstein: in un certo senso, la gravitazione mostra la ridondanza delle masse, il che rende possibile un modello geometrico della forza di gravità.
Il principio di omogeneità
Come ultima annotazione, in fatto di modelli, notiamo che la fisica, operando con grandezze dimensionali e utilizzando prevalentemente modelli descritti da equazioni, prescrive che nelle sue equazioni, A = B, A e B siano grandezze dimensionalmente omogenee [a titolo d'esempio, il caso più celebre è quello dell' uguaglianza E = Mc2, che tutti hanno sentito nominare e pochi sanno cosa voglia dire (equivalenza massa – energia, c è la velocità della luce)]. La prescrizione, detta principio di omogeneità, governa la descrizione simbolica di qualsiasi modello come principio semantico, escludendo modelli semanticamente assurdi. Il suo fondamento è, in buona sostanza, la pretesa intuitiva che le equazioni dei modelli non dipendano da convenzioni umane arbitrarie, come quelle che presiedono alla scelta delle unità di misura. Questo principio è peculiare del linguaggio della fisica e non ha riscontro nel linguaggio comune; ma merita di essere discusso e insegnato accuratamente anche nella didattica elementare.
*Fisico, direttore della rivista "Sapere", autore di testi universitari, scolastici e divulgativi, è stato docente di Fisica presso le Università di Roma e Napoli.
Pubblicato il 14/3/2006
I modelli in fisica
Carlo Bernardini
Il problema della ridondanza
La realtà, nel suo insieme, appare troppo complicata per una rappresentazione che tenga conto di ogni minimo particolare: è il problema che possiamo chiamare della ridondanza; esso consiste nella capacità di distinguere ciò che ha importanza da ciò che non la ha, ai fini del particolare tipo di analisi interpretativa che si sta effettuando. Per esempio, per un pittore saranno importanti forma e colori degli oggetti, per un archeologo tipo ed età dei manufatti, per un biologo il carattere di animato o inanimato; per un fisico, la maggior parte di questi caratteri sono invece ridondanti.
La costruzione dei modelli fisici
L'eliminazione della ridondanza porta alla costruzione di un simulacro che consente una rappresentazione del fenomeno ridotta agli elementi essenziali: questo simulacro è il modello di quel fenomeno particolare ma identifica anche gli elementi caratterizzanti di tutti i modelli di quella classe di fenomeni. Per esempio, nell'analisi delle caratteristiche orbitali degli oggetti che costituiscono il sistema solare, pianeti, satelliti e lo stesso Sole sono rappresentati da punti materiali, la temperatura a cui si trovano è irrilevante, la presenza o meno di atmosfera non conta nulla. La somiglianza tra modelli, poi, è molto più generale di quella tra elementi reali della realtà: per fare un esempio ben noto, il modello planetario della struttura atomica non avrebbe senso se si mettesse in conto la ridondanza.
Dunque, possiamo dire che la costruzione di modelli dei fenomeni e delle strutture della realtà è la matrice di ogni teoria: un modello consente di utilizzare, impiegando un ragionevole numero di variabili e di costanti fisiche caratterizzanti, una teoria per prevedere i comportamenti dei sistemi reali che quel modello mima. Spesso, i modelli più fortunati riescono a rappresentare una vastissima classe di comportamenti di sistemi reali.
I modelli lineari
Per esempio, i modelli detti lineari, di cui si può formulare una teoria completa estremamente generale, nella quale la proprietà centrale è addirittura indicata con il nome di principio di sovrapposizione: un sistema lineare è tale se, sollecitato in ingresso (input) da due impulsi diversi ma sovrapposti, risponde in uscita (output) con la somma delle risposte con cui risponderebbe ai due input separati. Generalmente, la fisica di questi sistemi è caratterizzata da funzionali lineari generati da una funzione di risposta ritardata che dà tutte le informazioni di rilevanza fisica sul sistema: in particolare, lo spettro delle frequenze caratteristiche e i tempi di rilassamento caratteristici dei processi dissipativi con cui il sistema perde energia (la dissipazione e gli effetti ritardati sono due aspetti della stessa dinamica interna dei sistemi).
L'oscillatore armonico
Un altro modello molto generale è quello che va sotto il nome di oscillatore armonico (anche, di rete di oscillatori). È una sottoclasse dei sistemi lineari che deve la sua importanza al fatto che, essendo la fisica nata sulla Terra, cioè su un oggetto solido di temperatura molto vicina allo zero assoluto (appena 300 °K, niente in confronto alla temperatura delle stelle), essa descrive spesso i sistemi più comuni, che sono sempre vicinissimi a condizioni di equilibrio e quindi, per piccoli apporti di energia, si mettono a oscillare intorno alle posizioni di equilibrio (molle, cristalli, circuiti elettrici, risuonatori ecc.).
Il principio di sovrapposizione e le teorie fisiche
Peraltro le più importanti teorie generali dei sistemi fisici sono governate da equazioni che rispettano per loro stessa natura il principio di sovrapposizione: così è per le equazioni di Maxwell dell'elettromagnetismo e per l'equazione di Schrödinger della meccanica ondulatoria. Non così per la meccanica di Newton, per l'idrodinamica e per la relatività generale: l'impossibilità di modelli lineari generali per queste teorie complica notevolmente le rappresentazioni mentali operative, cioè, la ricerca di soluzioni.
Fenomenologia e modellizzazione
Una parola di uso comune, strettamente legata alla costruzione di modelli, è: fenomenologia. La fenomenologia è una analisi dei fenomeni nella quale si identificano gli andamenti peculiari osservati in certi risultati sperimentali. Per esempio, la fenomenologia dei calori specifici dei solidi a bassa temperatura mostra una dipendenza dalla temperatura assoluta T che segue una legge di potenza (~ T3) che è tipico del modello detto di Debye (oscillatori accoppiati tra loro) e lo distingue da quello di Einstein (oscillatori indipendenti). La fenomenologia dello spettro del corpo nero prelude all'avvento della quantizzazione di Planck e al modello a fotoni del campo di radiazione. La fenomenologia delle particelle elementari apre la strada al modello a quark; la fenomenologia dei sistemi preda-predatore apre la strada ai modelli biometrici e questi portano a loro volta al cosiddetto caos deterministico. E così via.
Galilei, la caduta dei gravi e il principio di equivalenza
Possiamo affermare che senza la fenomenologia e i modelli che essa consente di immaginare non vi sarebbe la fisica come oggi la intendiamo. L'eliminazione della ridondanza è un'arte raffinata che richiede doti di intuizione veramente eccezionali: quando Galilei immagina la caduta dei gravi nel vuoto e ne ricava l'accelerazione di gravità e la sua indipendenza dalla massa del corpo che cade, non vuol dire che abbia incluso la resistenza dell'aria tra le ridondanze, ma solo che nella sua analisi della caduta dei gravi si è accorto che all'aumentare del loro peso l'aria esercitava sempre meno il suo potere frenante, sicché il limite era come la caduta nel vuoto. Il risultato è quello che oggi si chiama principio di equivalenza, su cui si fonda la relatività generale di Einstein: in un certo senso, la gravitazione mostra la ridondanza delle masse, il che rende possibile un modello geometrico della forza di gravità.
Il principio di omogeneità
Come ultima annotazione, in fatto di modelli, notiamo che la fisica, operando con grandezze dimensionali e utilizzando prevalentemente modelli descritti da equazioni, prescrive che nelle sue equazioni, A = B, A e B siano grandezze dimensionalmente omogenee [a titolo d'esempio, il caso più celebre è quello dell' uguaglianza E = Mc2, che tutti hanno sentito nominare e pochi sanno cosa voglia dire (equivalenza massa – energia, c è la velocità della luce)]. La prescrizione, detta principio di omogeneità, governa la descrizione simbolica di qualsiasi modello come principio semantico, escludendo modelli semanticamente assurdi. Il suo fondamento è, in buona sostanza, la pretesa intuitiva che le equazioni dei modelli non dipendano da convenzioni umane arbitrarie, come quelle che presiedono alla scelta delle unità di misura. Questo principio è peculiare del linguaggio della fisica e non ha riscontro nel linguaggio comune; ma merita di essere discusso e insegnato accuratamente anche nella didattica elementare.
*Fisico, direttore della rivista "Sapere", autore di testi universitari, scolastici e divulgativi, è stato docente di Fisica presso le Università di Roma e Napoli.
Pubblicato il 14/3/2006
