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Intervista a Lucia Ciarrapico*
Programmi studiati dall’UMI, sperimentazioni o programmi emanati dal MIUR; come orientarsi per progettare una didattica efficace, anche in sintonia con i colleghi europei? Percorriamo qui alcune significative tappe nazionali, con la guida di Lucia Ciarrapico, che vi partecipa in prima persona.
La prima presenza di tematiche sugli ‘Insiemi’ si trova nei programmi per la scuola media del 1963, poi rivisti nel 1979: quali indicazioni danno questi programmi? Che impatto hanno avuto sulla didattica curricolare?
I programmi di matematica del 1963 per la Scuola media risentono, ma solo in parte, dell’ampio movimento di rinnovamento dell’insegnamento della matematica che si fece strada a livello internazionale nel decennio degli anni ’50 -’60. L’esplosione delle nuove idee si manifestò in pieno in occasione del Convegno di Royamont (Parigi) del 1959 sul tema ‘Le nuove matematiche’, promosso dall’OCSE. Il matematico Jean Dieudonné nel suo intervento, al grido di ‘A bas Euclide’ - a voler significare l’inadeguatezza non solo della geometria greca, ma di tutto l’insegnamento tradizionale - invitò con forti accenti l’uditorio matematico ad una radicale revisione dell’insegnamento della matematica nell’intero percorso scolastico. Dieudonné propose un curricolo di matematica fondato, fin dalla scuola primaria, sull’uso del linguaggio e delle notazioni simboliche della teoria degli insiemi, sull’introduzione quindi dei concetti di trasformazioni geometriche, per giungere nei successivi cicli scolastici agli aspetti formali delle strutture algebriche.
All’estero le proposte di Dieudonné dettero luogo a profondi mutamenti nell’insegnamento della matematica resi espliciti nei programmi emanati dai rispettivi Ministri dell’Educazione. In Italia lo spirito innovativo trovò la sua prima applicazione nei programmi per la scuola media del 1963, anche se con maggiore cautela del resto dell’Europa. Nella Premessa che precede l’elenco dei contenuti da svolgere, si suggerisce agli insegnanti di ‘dare risalto a quelle proprietà che non dipendono dalla particolare natura degli elementi di cui trattasi, e di inquadrare in un medesimo schema logico questioni incontrate in differenti capitoli del programma, la cui trattazione comporti identità operativa e strutturale’. La parola ‘insieme’, comunque, non compare mai, quasi per un senso di timore. Ma nel successivo elenco di contenuti l’idea innovatrice alla base della Premessa non trova alcun riscontro: i contenuti sono completamente in linea con le indicazioni tradizionali e non c’è cenno al concetto di ‘insieme’.
Nonostante l’approccio nuovo fosse caldeggiato da molti matematici e propugnato in più di un convegno, l’impatto sulla pratica scolastica è minimo, forse anche per una carenza di una cultura matematica dei docenti verso una visione bourbakista della matematica.
Nei programmi del ’79 il riferimento agli ‘insiemi’ è presente, ma ne viene precisato il ruolo: si eviterà una trattazione teorica a se stante, inopportuna a questo livello di studi, ma ‘il linguaggio degli insiemi potrà essere usato come strumento di chiarificazione, di visione unitaria e di valido aiuto per la formazione di concetti’ Anche il commento all’ultimo tema ‘Corrispondenze –Analogie strutturali’, dice con chiarezza che l’argomento non dovrà essere oggetto di una trattazione specifica, essendo indicato solo come suggerimento ‘a mettere in luce, ogni volta che sia possibile, analogie e differenze tra situazioni diverse’.
I programmi per la scuola elementare del 1985 quali indicazioni danno sull’argomento ‘Insiemi’? E gli insegnanti come hanno realizzato le indicazioni ministeriali?
Nella scuola primaria l’impatto degli ‘insiemi’ ha più presa sulla scuola militante.
Durante il decennio 1960-1970 tutti i paesi del mondo avevano puntato, come si è detto, all’acquisizione , senza intermediazioni, di concetti e strutture matematiche. Anche in Italia vi era stato a livello di scuola primaria una introduzione esplicita della cosiddetta ‘insiemistica’, con forte diffusione nelle scuole.
I Programmi del 1985 tuttavia, influenzati da un attento lavoro di ricerca teorica e sul campo che avevano indotto ad un forte ripensamento sull’inadeguatezza didattica di ‘una acquisizione diretta di concetti e strutture matematiche’, invitano ad una maggiore cautela. E’ scritto che l’insegnante ‘con gradualità potrà introdurre qualche rappresentazione logico-insiemistica (si potranno usare i diagrammi di Eulero-Venn, i grafici, ecc.), tuttavia. terrà presente che la simbolizzazione formale di operazioni logico-insiemistiche non è necessaria, in via preliminare, per l’introduzione degli interi naturali e delle operazioni aritmetiche’.
Siamo già entrati nel 1985 in un periodo nuovo, di diversa tendenza rispetto all’incontro di Royamont: l’ondata bourbakista comincia a vacillare. In Francia in una circolare del Ministero dell’Educazione del 1987 è scritto, senza mezzi termini, che 'i simboli 
sono fuori dai programmi, come ogni nozione riguardante gli insiemi'.
Le abitudini, però, sono in Italia dure a morire e l’insiemistica regna ancora oggi nella scuola primaria dove si trovano maestri che parlano ai bimbi di sei anni di ‘insiemi equipotenti’.
Nella scuola secondaria a partire dal 1985 si diffondono le sperimentazioni su larga scala. In particolare dei programmi PNI (Piano Nazionale dell’Informatica) e Brocca. Quali indicazioni danno questi programmi sulla teoria degli insiemi?
I programmi di matematica PNI (1987 – ‘89 – ’96) e Brocca (1991 - ’93) sono gli stessi nel biennio della scuola secondaria superiore e si differenziano di poco nel successivo triennio.
A questo livello di studi l’introduzione del capitolo ‘strutture’, ritenuto inopportuno negli anni della scuola media, è ancora voluto da molti matematici
Nei programmi del biennio la parola ‘insieme’ è introdotta in maniera esplicita e si parla, soprattutto nel programma destinato ad indirizzi con matematica forte, di individuazione di ‘particolari strutture’. A livello di triennio si fa riferimento alle ‘strutture algebriche fondamentali e di ordine’ e nei programmi per il liceo scientifico a ‘spazi vettoriali, struttura vettoriale in R2 e R3, trasformazioni lineari, strutture algebriche delle matrici di ordine 2’, anche se la trattazione di alcuni di questi argomenti è lasciata alla discrezionalità dei docenti. La modalità di approccio viene, tuttavia, nei rispettivi commenti esplicitata e mitigata: nel biennio si precisa che ai concetti di ‘gruppo, anello, campo e strutture d’ordine’ occorre pervenire attraverso esempi tratti da vari ambiti della matematica, senza ‘dare alla trattazione una sistemazione teorica’; nel triennio si ribadisce che ‘le strutture algebriche e d’ordine sono introdotte non come una classificazione teorico-formale, ma come ambienti operativi i cui elementi possono essere di natura diversa’. Analogamente ai concetti di spazio vettoriale e di trasformazione lineare ‘si perviene attraverso l’analisi di casi concreti in vari contesti scientifici’.
In altri termini i vari concetti della teoria degli insiemi devono scaturire come punti di arrivo e non come punti di partenza di una trattazione sistematica.
Le più recenti indicazioni ministeriali prevedono uno sviluppo autonomo per la teoria degli insiemi?
I programmi emanati in quest’ultima decade, ‘OSA Moratti’ (2004) e, per il solo primo ciclo, ‘Indicazioni Fioroni’ (2007), traggono ispirazione, seppure con alcune diversità, da proposte avanzate da una Commissione di esperti insediata dall’Unione Matematica Italiana nel 2000. La Commissione negli anni 2001, 2003, 2004 elaborò un curricolo di matematica per l’intero corso di studi, definendo le conoscenze e le abilità fondamentali che un cittadino deve acquisire. La proposta è in forte sintonia con le nuove tendenze presenti in Europa e nel mondo che hanno oramai messo al bando ‘l’insiemistica’.
Nei programmi del primo ciclo l’unico riferimento agli ‘insiemi’ è nelle classi quarte e quinta della scuola primaria nella formulazione ‘Rappresentazione di insiemi e relazioni con diagrammi di vario tipo’ e più avanti in ‘Riconoscere analogie e differenze’. Una esplicita nota precisa, però, che ‘a questo livello di età il linguaggio degli insiemi può essere un comodo strumento per esprimere in modo sintetico situazioni e per risolvere problemi’.
Dunque, non ‘teoria degli insiemi’, bensì uso del linguaggio degli insiemi.
Nel secondo ciclo non c’è alcun riferimento al concetto di ‘struttura’; si parla solo di ‘individuare analogie e differenze tra i diversi insiemi numerici (naturali, interi, razionali, reali) e non numerici (polinomi nei razionali, nei reali, nelle classi di resto, vettori,…) dal punto di vista operazionale’.
Le indicazioni presenti ‘nei programmi Moratti’ del primo ciclo sono in linea con le scelte della commissione UMI. Anche qui è detto nei curricoli sia della scuola primaria sia secondaria di primo grado di ‘riconoscere analogie e differenze’. La parola ‘insieme’ non compare mai nel lungo elenco di conoscenze e abilità da acquisire negli otto anni del ciclo.
Poi, improvvisamente, nell’ultimo tema dell’ottavo anno – Introduzione al pensiero razionale –è scritto, in dissonanza con le indicazioni precedenti, ‘Intuizione della nozione di insieme e introduzione delle operazioni elementari tra esse’. Manca, peraltro, ogni commento che possa chiarire e dare una interpretazione della tardiva scelta. Ma si sa che le proposte curricolari sono, come molte altre cose, frutto di compromessi tra posizioni diverse.
Ancora di più l’assenza si rileva nei ‘Programmi Fioroni’ nei quali l’argomento è presente nella scuola primaria solo con le parole ‘Classificare numeri, figure, oggetti in base a una o a più proprietà utilizzando rappresentazioni opportune’. Nulla compare nel curricolo della scuola secondaria di primo grado. Si osserva, tra l’altro, che l’introduzione del concetto di numero nella prima classe della scuola primaria è presentata solo dal punto di vista ‘ordinale’.
Negli OSA del secondo ciclo, mai andati in vigore per un continuo rinvio della Riforma, il primo tema di matematica, denominato dalla commissione UMI ‘Numeri e algoritmi’, è qui modificato in ‘Numeri, algoritmi, strutture’, quasi ad esprimere una particolare attenzione agli argomenti afferenti alla teoria degli insiemi e alle strutture. Ma poi questa intenzione è rappresentata solo dalle parole ‘Gli insiemi numerici N, Z, Q, R: rappresentazioni, operazioni, ordinamento’ (primo biennio)’ , e ‘ Riflessione sull’evoluzione storica dei concetti di numero e di struttura’ (secondo biennio).
*Già Ispettrice per la matematica del MIUR, Membro della CIIM (Commissione Italiana per l'Insegnamento della Matematica), ha fatto parte della Commissione UMI che ha redatto i volumi Matematica 2001, 2003, 2004 e di commissioni ministeriali che hanno redatto programmi nazionali. Dall'a.a. 2002/03 ha insegnato nella SSIS presso l'Università "La Sapienza" di Roma.
